Qu'est-ce que la consonance ?

Dans la note précédente, nous avons découvert comment fonctionne le son. Répétons cette formule :

SON = TON DE SOL + TOUTES LES MULTIPLES OVERTONS

De plus, comme les Japonais admirent les fleurs de cerisier, nous admirerons également le graphique de réponse en fréquence - la caractéristique amplitude-fréquence du son (Fig. 1) :

Rappelez-vous que l'axe horizontal représente la hauteur (fréquence d'oscillation) et l'axe vertical représente le volume (amplitude).

Chaque ligne verticale est une harmonique, la première harmonique est généralement appelée la fondamentale. Les harmoniques sont disposées comme suit : la deuxième harmonique est 2 fois plus haute que la tonalité fondamentale, la troisième est trois, la quatrième est quatre, et ainsi de suite.

Par souci de brièveté, au lieu de "fréquence nième harmonique » nous dirons simplement «nième harmonique », et au lieu de « fréquence fondamentale » – « fréquence sonore ».

Donc, en regardant la réponse en fréquence, il ne nous sera pas difficile de répondre à la question, qu'est-ce que la consonance.

Comment compter jusqu'à l'infini ?

Consonance signifie littéralement "co-sounding", un son conjoint. À quoi peuvent ressembler deux sons différents ensemble ?

Dessinons-les sur le même graphique les uns sous les autres (Fig. 2):

Voici la réponse : certaines des harmoniques peuvent coïncider en fréquence. Il est logique de supposer que plus il y a de fréquences correspondantes, plus les sons "communs" ont et, par conséquent, plus il y a de consonance dans le son d'un tel intervalle. Pour être tout à fait précis, il est important non seulement le nombre d'harmoniques correspondants, mais aussi la proportion de tous les harmoniques qui sonnent, c'est-à-dire le rapport entre le nombre de correspondances et le nombre total d'harmoniques qui sonnent.

Nous obtenons la formule la plus simple pour calculer la consonance:

De N_{vice-président} est le nombre d'harmoniques correspondants,  N_commun est le nombre total d'harmoniques de sondage (le nombre de fréquences de sondage différentes), et contre et est notre consonance désirée. Pour être mathématiquement correct, il vaut mieux appeler la quantité une mesure de la consonance de fréquence.

Eh bien, l'affaire est petite: vous devez calculer N_{vice-président} и N_commun, divisez l'un par l'autre et obtenez le résultat souhaité.

Le seul problème est que le nombre total d'harmoniques et même le nombre d'harmoniques correspondants sont infinis.

Que se passe-t-il si on divise l'infini par l'infini ?

Changeons l'échelle du graphique précédent, "éloignons-nous" de celui-ci (Fig. 3)

Nous voyons que les harmoniques correspondantes se produisent encore et encore. L'image est répétée (Fig. 4).

Cette répétition nous aidera.

Il nous suffit de calculer le rapport (1) dans l'un des rectangles en pointillés (par exemple, dans le premier), puis, du fait des répétitions et sur toute la ligne, ce rapport restera le même.

Pour simplifier, la fréquence du ton fondamental du premier son (inférieur) sera considérée comme égale à l'unité, et la fréquence du ton fondamental du second son s'écrira comme une fraction irréductible  .

Notons entre parenthèses que dans les systèmes musicaux, en règle générale, ce sont précisément les sons qui sont utilisés, dont le rapport des fréquences est exprimé par une certaine fraction  . Par exemple, l'intervalle d'une quinte est le rapport  , pintes –  , triton —   et ainsi de suite

Calculons le rapport (1) à l'intérieur du premier rectangle (Fig. 4).

Il est assez facile de compter le nombre d'harmoniques correspondants. Formellement, il y en a deux, l'un appartient au son inférieur, le second au supérieur, sur la Fig. 4, ils sont marqués en rouge. Mais ces deux harmoniques sonnent à la même fréquence, respectivement, si nous comptons le nombre de fréquences correspondantes, alors il n'y aura qu'une seule de ces fréquences.

Quel est le nombre total de fréquences de sondage ?

Disputons comme ça.

Toutes les harmoniques du son inférieur sont disposées en nombres entiers (1, 2, 3, etc.). Dès qu'une harmonique du son du haut est un entier, elle coïncidera avec l'une des harmoniques du bas. Toutes les harmoniques du son supérieur sont des multiples du ton fondamental , donc la fréquence n-ième harmonique sera égal à :

c'est-à-dire que ce sera un entier (puisque m est un entier). Cela signifie que le son supérieur dans le rectangle a des harmoniques du premier (ton fondamental) au n-oh, donc, le son n fréquences.

Puisque toutes les harmoniques du son inférieur sont situées en nombres entiers, et selon (3), la première coïncidence se produit à la fréquence m, il s'avère que le son inférieur à l'intérieur du rectangle donnera m fréquences sonores.

Il convient de noter que la fréquence coïncidente m nous avons de nouveau compté deux fois : lorsque nous avons compté les fréquences du son supérieur et lorsque nous avons compté les fréquences du son inférieur. Mais en fait, la fréquence est un, et pour la bonne réponse, nous devrons soustraire une fréquence "supplémentaire".

Le total de toutes les fréquences de sondage à l'intérieur du rectangle sera :

En substituant (2) et (4) dans la formule (1), on obtient une expression simple pour calculer la consonance :

Pour souligner la consonance des sons que nous avons calculés, vous pouvez indiquer ces sons entre parenthèses contre:

En utilisant une formule aussi simple, vous pouvez calculer la consonance de n'importe quel intervalle.

Et maintenant, considérons certaines propriétés de la consonance de fréquence et des exemples de son calcul.

Propriétés et exemples

Tout d'abord, calculons les consonances pour les intervalles les plus simples et assurons-nous que la formule (6) "fonctionne".

Quel intervalle est le plus simple ?

Certainement prima. Deux notes sonnent à l'unisson. Sur un graphique, cela ressemblera à ceci :

Nous voyons qu'absolument toutes les fréquences de sondage coïncident. La consonance doit donc être égale à :

Maintenant, substituons le rapport à l'unisson  dans la formule (6), on obtient :

Le calcul coïncide avec la réponse « intuitive », ce qui est prévisible.

Prenons un autre exemple dans lequel la réponse intuitive est tout aussi évidente : l'octave.

Dans une octave, le son supérieur est 2 fois plus élevé que le son inférieur (selon la fréquence du ton fondamental), respectivement, sur le graphique, il ressemblera à ceci :

On peut voir sur le graphique que chaque deuxième harmonique coïncide, et la réponse intuitive est : la consonance est de 50 %.

Calculons-le par la formule (6):

Et encore une fois, la valeur calculée est égale à "l'intuitif".

Si nous prenons la note comme le son le plus grave à et tracer la valeur de consonance pour tous les intervalles de l'octave sur le graphique (intervalles simples), on obtient l'image suivante :

Les mesures de consonance les plus élevées se situent dans l'octave, la quinte et la quatrième. Ils se référaient historiquement aux consonances «parfaites». Les tierces mineure et majeure, et la sixte mineure et majeure sont légèrement plus basses, ces intervalles sont considérés comme des consonances « imparfaites ». Les autres intervalles ont un degré de consonance inférieur, ils appartiennent traditionnellement au groupe des dissonances.

Nous énumérons maintenant quelques propriétés de la mesure de la consonance de fréquence, qui proviennent de la formule de son calcul :

1. Plus le rapport est complexe  (plus le nombre m и n), moins l'intervalle est consonant.

И m и n dans la formule (6) sont au dénominateur, donc, à mesure que ces nombres augmentent, la mesure de la consonance diminue.

2. La consonance montante de l'intervalle est égale à la consonance descendante de l'intervalle.

Pour obtenir un intervalle descendant au lieu d'un intervalle ascendant, nous avons besoin dans le rapport   échange m и n. Mais dans la formule (6), absolument rien ne changera d'un tel remplacement.

3. La mesure de la consonance de fréquence d'un intervalle ne dépend pas de la note à partir de laquelle nous le construisons.

Si vous décalez les deux notes du même intervalle vers le haut ou vers le bas (par exemple, construisez une quinte non pas à partir d'une note à, mais d'après la note re), alors le rapport  entre les notes ne changera pas, et par conséquent, la mesure de la consonance de fréquence restera la même.

Nous pourrions donner d'autres propriétés de consonance, mais pour l'instant nous nous limiterons à celles-ci.

Physique et paroles

La figure 7 nous donne une idée du fonctionnement de la consonance. Mais est-ce ainsi que nous percevons vraiment la consonance des intervalles ? Y a-t-il des gens qui n'aiment pas les consonances parfaites, mais dont les harmonies les plus dissonantes semblent agréables ?

Oui, de telles personnes existent certainement. Et pour expliquer cela, il faut distinguer deux concepts : consonance physique и consonance perçue.

Tout ce que nous avons considéré dans cet article a à voir avec la consonance physique. Pour le calculer, vous devez savoir comment fonctionne le son et comment les différentes vibrations s'additionnent. La consonance physique fournit les conditions préalables à la consonance perçue, mais ne la détermine pas à 100 %.

La consonance perçue est déterminée très simplement. On demande à une personne si elle aime cette consonance. Si oui, alors pour lui c'est la consonance ; sinon c'est de la dissonance. Si on lui donne deux intervalles de comparaison, alors nous pouvons dire que l'un d'eux semblera à la personne à l'instant plus consonant, l'autre moins.

Peut-on calculer la consonance perçue ? Même si nous supposons que c'est possible, alors ce calcul sera catastrophiquement compliqué, il inclura un infini de plus - l'infini d'une personne : son expérience, ses caractéristiques auditives et ses capacités cérébrales. Cet infini n'est pas si facile à gérer.

Cependant, des recherches dans ce domaine sont en cours. En particulier, le compositeur Ivan Soshinsky, qui fournit gracieusement du matériel audio pour ces notes, a développé un programme avec lequel vous pouvez construire une carte individuelle de la perception des consonances pour chaque personne. Le site mu-theory.info est en cours de développement, où chacun peut se faire tester et découvrir les caractéristiques de son audition.

Et pourtant, s'il y a une consonance perçue, et qu'elle diffère du physique, à quoi bon calculer ce dernier ? On peut reformuler cette question de manière plus constructive : comment ces deux concepts s'articulent-ils ?

Des études montrent que la corrélation entre la consonance perçue moyenne et la consonance physique est de l'ordre de 80 %. Cela signifie que chaque personne peut avoir ses propres caractéristiques individuelles, mais la physique du son apporte une contribution écrasante à la définition de la consonance.

Bien sûr, la recherche scientifique dans ce domaine n'en est encore qu'à ses débuts. Et en tant que structure sonore, nous avons pris un modèle relativement simple d'harmoniques multiples, et le calcul de la consonance a été utilisé le plus simple - la fréquence, et n'a pas pris en compte les particularités de l'activité cérébrale dans le traitement du signal sonore. Mais le fait que, même dans le cadre de telles simplifications, un très haut degré de corrélation entre la théorie et l'expérience ait été obtenu est très encourageant et stimule de nouvelles recherches.

L'application de la méthode scientifique dans le domaine de l'harmonie musicale ne se limite pas au calcul de la consonance, elle donne aussi des résultats plus intéressants.

Par exemple, avec l'aide de la méthode scientifique, l'harmonie musicale peut être représentée graphiquement, visualisée. Nous parlerons de la façon de procéder la prochaine fois.

Auteur – Roman Oleinikov